Makalah Pengantar Dasar Matematika

BAB I

PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang

     Dalam kehidupan kita, seringkali memberikan argumentasi ( anggapan ) yang salah terhadap sesuatu hal atau orang lain, karena kesalahpahaman kita dalam memahami kebenaran dari suatu pernyataan. Baik dari pihak yang memberikan pernyataan atau dari pihak yang menerima pernyataan. Sering sekali mempunyai pengertian yang berbeda.

Untuk itu sangatlah penting dalam mempelajari logika yang mengkaji tentang argumentasi, sebab argumentasi merupakan cara untuk mendukung klaim tentang suatu kebenaran. Hal yang menarik adalah bahwa suatu argumentasi menetapkan kebenaran kesimpulan yang tak dapat diingkari, tetapi dengan logika seseorang dipaksa untuk menilai pernyataan tersebut. Argumentasi menetapkan kebenaran suatu kesimpulan relative terhadap premis-premis dan aturan-aturan tentang inferensi (cara untuk menarik kesimpulan). Kajian logika tidak memperdulikan apakah suatu argumentasi akan berhasil secara psikologis dalam mengubah pikiran atau meyakinkan orang lain. Kekakuan atau kejanggalan seseorang dalam berfikir merupakan bagian kajian dalam psikologi; efektif tidaknya penalaran serta ragamnya untuk mempengaruhi orang lain dipelajari oleh retorika; akan tetapi ketepatan penalaran (validitas inferensi) yang dipelajari dalam kajian logika.

Untuk menilai suatu argumentasi, hanya dua aspek atau sifat dari argumentasi tersebut yang perlu diperhatikan, yaitu kebenaran premis dan keabsahan (validitas) penalaran yang mengarah pada kesimpulan. Dalam hal ini, logika hanya mempelajari penalaran (reasoning), dengan mengesampingkan keraguan atas kebenaran premis secara empirik atau kebenaran dari hasil penyelidikan.

Suatu argumentasi adalah valid jika kebenaran premisnya menjamin kebenaran kesimpulannya; atau jika kesimpulan adalah benar atas asumsi bahwa semua premisnya benar; atau jika kesimpulan dapat ditarik dari premis-premis sesuai dengan aturan tertentu yang berlaku. Semua pengertian tersebut adalah ekivalen, dan biasanya digunakan bergantian sesuai dengan argumentasi yang akan dinilai validitasnya. Jika suatu argumentasi tidak memenuhi ketentuan diatas, maka dikatakan argumentasi tersebut tidak valid.

   Dalam hal ini kita akan membahas bentuk-bentuk pernyataan, seperti implikasi, konvers, invers, kontraposisi, biimplikasi, tautologi, kontradiksi, dan kontingensi, serta aturan-aturan penggunaan kata hubung.

B.   Rumusan Masalah

1.      Apakah yang dimaksud dengan kondisional (implikasi) ?

2.      Apakah yang dimaksud dengan konvers, invers,dan kontraposisi ?

3.      Apakah yang dimaksud dengan bikondisional (biimplikasi) ?

4.      Bagaimanakah aturan penggunaan kata hubung ?

5.      Bagaimanakah suatu pernyataaan disebut tautologi, kontingensi, kontradiksi dan  ekivalensi ?

BAB II

PEMBAHASAN

           

A.    Pengertian Logika Matematika

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani 'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran (reasoning). 

Logika, penalaran, dan argumentasi sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Karenanya, Logika Matematika ini sangat berguna bagi siswa, karena di samping dapat meningkatkan daya nalar, namun dapat langsung diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari maupun ketika mempelajari mata pelajaran lainnya. 

Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang akan sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka harus menyusun pernyataan yang bernilai benar. Di samping itu, mereka sering dituntut untuk menegasikan suatu pernyataan ataupun menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit. Bagian ini akan membahas tentang pernyataan, beserta perakitperakit: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi beserta nilai kebenarannya, dan diakhiri dengan membahas negasi kalimat majemuk.

B.     Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Pernyataan  majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa  pernyataan tunggal yang dirangkai dengan kata hubung logika.

Namun dalam makalah ini kami hanya akan membahas pada bagian Implikasi, Biimplikasi, konvers, Invers, Kontraposisi, kesepakatan penggunaan kata hubung, tautologi, ekivalen dan kontradiksi.

1.      Implikasi 

Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan, maka Implikasi adalah dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan implikasi menjadi p => q (dibaca “jika p maka q“) dapat dirumuskan:

p => q……..(dibaca “jika p maka q“)

Implikasi p => q bernilai benar jika p dan q keduanya adalah benar atau jika p dan q keduanya adalah salah  untuk kasus lainnya adalah salah.

Definisi ini dapat disimpulkan dengan tabel kebenaran di bawah ini:

p	q	p => q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

                        pernyataan p terhadap q dilambangkan “p => q” dapat dibaca:

a.       Jika p maka q

b.      p mengakibatkan q

c.       q hanya jika p

d.      p syarat cukup untuk q

e.       q syarat perlu untuk p

 disebut anteseden, hipotesis, atau sebab.

 disebut konsekuen, konklusi, kesimpulan, atau akibat

Suatu pernyataan majemuk dengan implikasidapat diubah menjadi bentuk bentuk pernyataan majemuk yang lain, yaitu:

a.        disebut Konvers

b.      disebut Invers; dan

c.        disebut Kontraposisi

pernyataan implikasi dalam logika ada dua, yaitu implikasi material dan implikasi biasa.

-          Implikasi material adalah nilai kebenarannya bergantung pada nilai kebenaran antesenden (sebab) dan konsekuen (akibat) atau sesuai dengan realita.

-          Implikasi biasa adalah nilai kebenarannya tergantung pada pernyataan yang disampaikan lingkungan dimana disampaikan pernyataan dalam aturan tersebut, implikasi biasa merupakan implikasi pada percakapan sehari-hari.

Contoh:

1.       : hujan turun dengan deras

             : sepanjang ruas jalan tergenang air

Tuliskan pernyataan majemuk dari dua pernyataan diatas yang diwakili oleh lambing berikut!

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

Jawab :

a.       Jika hujan turun dengan deras maka sepanjang jalan tergenang air.

b.      Jika hujan tidak turun dengan deras maka sepanjang jalan tergenang air.

c.       Jika hujan turun dengan deras maka sepanjang jalan tidak tergenang air.

d.      Jika hujan tidak turun dengan deras maka sepanjang jalan tidak tergenang air.

e.       Jika  sepanjang jalan tidak tergenang air makan hujan tidak turun dengan deras.

2.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

a.       Jika katak merupakan hewan amfibi, maka harimau merupakan hewan herbivora.

b.      Jika akar kuadrat dari 49 adalah 9, maka 9 adalah bilangan ganjil.

c.       Jika -7 adalah bilangan bulat maka 3 adalah factor dari 27.

Jawab:

a.        : katak merupakan hewan ambifi. (B)

 : harimau hewan herbivora. (S)

 (S)

Jadi pernyataan majemuk bernilai salah.

b.       : akar kuadrat dari 49 adalah 9. (S)

 : 9 adalah bilangan ganjil. (B)

 (B)

Jadi pernyataan majemuk bernilai benar.

c.        : -7 adalah bilangan bulat. (B)

 : 3 adalah factor dari 27. (B)

 (B)

Jadi pernyataan majemuk bernilai benar

3.      Jika x adalah bilangan riil, maka himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka dibawah ini adalah?

a.    Jika , maka . (bernilai salah)

b.   Jika 52 adalah kelipatan 4 maka . (bernilai benar)

Jawab:

a.        

b.       

54 adalah bilangan kelipatan 4 (B)

2.      Biimplikasi

Biimplikasi atau implikasi dua arah adalah  penggabungan pernyataan  dan  menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “….jika dan hanya jika…” dan dilambangkan   .

Lambang  dibaca  jika dan hanya jika . Nilai kebenaran biimplikasi  akan benar jika  dan  mempunyai nilai kebenaran yang sama, yaitu sama-sama benar atau sama-sama salah.

Definisi ini dapat disimpulkan dengan tabel kebenaran di bawah ini:

B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Biimplikasi p q dapat pula dibaca sebagai berikut:

a.       Jika p maka q dan jika q maka p

b.      p syarat perlu dan cukup bagi q

c.       q syarat perlu dan cukup bagi p

contoh :

1.      diketahui  pernyataan – pernyataan sebagai berikut.

 irfa’ belajar dengan rajin

 sukses UAN dan SMPTN

Tuliskan pernyataan majemuk dari dua pernytaan di atas yang diwakili oleh lambang berikut!

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

Jawab:

a.       Irfa’ belajar dengan rajin jika dan hanya jika sukses UAN dan SMPTN

b.      Irfa’ tidak belajar dengan rajin jika dan hanya jika sukses UAN dan SMPTN

c.       Irfa’ belajar dengan rajin jika dan hanya jika tidak sukses UAN dan SMPTN

d.      Irfa’ tidak belajar dengan rajin jika dan hanya jika tidak sukses UAN dan SMPTN

e.       Sukses UAN dan SMPTN jika dan hanya jika irfa’ tidak belajar dengan rajin.

2.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

a.       x=2 adalah penyelesaian dari 3x+5 = 2x+9 jika dan hanya jika 2 merupakan bilangan prima.

b.      -3 adalah bilangan bulat jika dan hanya jika 3 adalah factor dari 27.

Jawab:

a.        x=2 adalah penyelesaian dari 3x+5 = 2x+9 jika dan hanya jika 2. (S)

             2 merupakan bilangan prima. (B)

             

Jadi, pernyataan majemak bernilai salah.

b.       -3 adalah bilangan bulat. (B)

 3 adalah factor dari 27. (B)

             

            Jadi, pernyataan majemuk bernilai benar.

3.      Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Pada kenyataannya, pernyataan implikasi sering menyebabkan orang salah dalam memahami maknanya.

Umumnya kesalahan tersebut terjadi karena pemahaman yang sering di kacaukan oleh bentuk-bentuk konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

a.       Konvers adalah balikan dari pernyataan implikasi.

b.      Invers adalah negasi dari pernyataan implikasi.

c.       Kontraposisi adalah balikan dan negasi dari pernyataan implikasi.

Dari implikasi  dapat dibentuk implikasi – implikasi yang lain sebagai berikut.

a.        disebut konvers .

b.       disebut invers dari .

c.        disebut kontraposisi

Hubungan antara implikasi-implikasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram dibawah

 

Dapat didefinisikan pada table kebenaran dibawah ini:

				implikasi	konvers	invers	kontraposisi
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Contoh:

1.      Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika farhan lolos seleksi, maka ia mengikuti lomba siswa teladan”!

Jawab:

             farhan lolos seleksi

             farhan mengikuti lomba siswa teladan

a.       Konvers  : jika farhan mengikuti lomba siswa teladan, maka ia lolos seleksi.

b.      Invers   : jika farhan tidak lolos seleksi, maka ia tidak mengikuti lomba siswa teladan.

c.       Kontraposisi  : jika farhan tidak mengikuti lomba siswa teladan, maka ia tidak lolos seleksi.

2.      Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan
!

Jawab:

             

a.       Konvers:

b.      Invers:  

c.       Kontraposisi:  

4.      Kesepakatan Penggunaan Kata Hubung

Pada saat menghadapi suatu pernyataan majemuk yang sangat panjang, yakni dibentuk oleh banyak pernyataan sederhana, adakalanya sulit menentukan nilai kebenarannya. Untuk itu, disepakati aturan-aturan menggunakan kata hubung sebagai berikut:

a.       ()      : pernyataan didalam tanda kurung adalah prioritas tertinggi

b.        ~ : prioritas kedua

c.       Ù dan Ú : prioritas ketiga

d.      : prioritas keempat

e.       Û  : prioritas paling rendah

Contoh :

1.      p : anik memberi kesaksian

q : anik berkata benar

r : rukin akan terbukti bersalah

sehingga bentuk pernyataan {[(pÙq) Û r] Ù ( ~p Þ r)} adalah “jika anik memberi kesaksian dan berkata benar, maka rukin akan terbukti bersalah, dan jika anik tidak memberi kesaksian, maka rukin terbukti bersalah”.

p	q	r	~p	p Ù q	[(pÙq) Û r]	( ~p Þ r)	{[(pÙq) Û r] Ù ( ~p Þ r)}
B	B	B	S	B	B	B	B
B	B	S	S	B	S	B	S
B	S	B	S	S	B	B	B
B	S	S	S	S	B	B	B
S	B	B	B	S	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B	B
S	S	S	B	S	B	S	S

           

“jika anik memberi kesaksian dan berkata benar, maka rukin akan terbukti bersalah, dan jika anik tidak memberi kesaksian, maka rukin terbukti bersalah”

5.      Tautologi, Ekivalen dan Kontradiksi

a.      Tautologi

Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Contoh:

p : saya marah

q : saya ngantuk

sehingga bentuk pernyataan (p Ù q) Þ p adalah “jika saya marah dan mengantuk maka saya marah”

Tabel Kebenaran

P	q	(p Ù q)	(p Ù q) Þ p
B	B	B	B
B	S	S	B
S	B	S	B
S	S	B	B

Pada kelompok keempat terlihat bahwa (p Ù q) Þ p bernilai benar pada setiap pernyataan yang terlibat sehingga pernyataan diatas disebut tautologi.

b.      Ekivalen

Pernyataan majemuk ekivalen adalah dua pernyataan majemuk yangmempunyai nilai kebenaran sama untuk semua kemungkinan nilai pernyataan-pernyataan komponennya.

Tautologi a (pernyataan majemuk)      Û b (pernyataan majemuk) dinamakan ekivalen logis dan ditulis a º b (dibaca a ekivalen b)

Contoh:

Buatlah t abel kebenaran untuk ~(p Ù q) dan ~p Ú ~q.

Penyelesaian. Tabel kebenaran yang dimaksud adalah:

p	q	p Ù q	~(p Ù q)	~p	~q	~p Ú ~q
B	B	B	S	S	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	S	B	B	S	B
S	S	S	B	B	B	B

Tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa nilai kebenaran untuk ~(p Ù q) dan ~p Ú ~q sama disetiap baris, atau dengan kata lain ~(p Ù q) dan ~p Ú ~q mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kombinasi nilai kebenaran pernyataan atomik yang menyusunnya.

c.       Kontradiksi

Adalah suatu pernyataan yang selalu salah, apapun nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Misalnya :

untuk membuktikan p, maka ingkarannya adalah ~p, kemudian dilakukan sesuatu kontradiksi sehingga menjadi ~ (~p) = p.

Langkah-langkah :

a.       Tentukan ingkaran kalimat yang akan dibuktikan

b.      Untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan benar maka harus dibuktikan ingkarannya bernilai salah

Contoh :

p : saya marah

q : saya mengantuk

sehingga bentuk penyataan ~[(p Ù ~p) Þ q] adalah tidaklah benar, bahwa saya marah dan saya tidak marah maka saya mengantuk.

Tabel kebenaran dari ~[(p Ù ~p) Þ q] adalah

P	q	~p	(p Ù ~p)	(p Ù ~p) Þ q	~[(p Ù ~p) Þ q]
B	B	S	S	B	S
B	S	S	S	B	S
S	B	B	S	B	S
S	S	B	S	B	S

Pada kolom ke-6 terlihat bahwa ~[(p Ù ~p) Þ q] bernilai salah pada setiap pernyataan atomik yang terlibat, sehingga pernyataan diatas disebut kontradiksi.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

1.      Implikasi adalah bentuk penggabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “jika…maka”. Suatu implikasi bernilai salah apabila antesedenya benar dan konsekuenya salah, selain yang demikian implikasi bernilai benar.

2.      Biimplikasi adalah penggabungan pernyataan  dan  menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “….jika dan hanya jika…” dan dilambangkan   .

3.      Konvers adalah balikan dari pernyataan implikasi. Invers adalah negasi dari pernyataan implikasi. Kontraposisi adalah balikan dan negasi dari pernyataan implikasi.

4.      aturan urutan penggunaan kata hubung sebagai berikut :

NO	KATA HUBUNG	PRIORITAS URUTAN
1	( )	Pernyataan di dalam tanda kurung adalah prioritas tertinggi
2	¬	Prioritas kedua
3	v dan  ^	Prioritas ketiga
4	=>	Prioritas keempat
5	<=>	Prioritas paling rendah

5.      Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Kontradiksi  adalah Adalah suatu pernyataan yang selalu salah, apapun nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Ekivalen adalah dua pernyataan majemuk yangmempunyai nilai kebenaran sama untuk semua kemungkinan nilai pernyataan-pernyataan komponennya.

B.   Saran

Untuk itu sangatlah penting dalam mempelajari logika yang mengkaji tentang argumentasi, sebab argumentasi merupakan cara untuk mendukung klaim tentang suatu kebenaran. Agar tidak terjadi Kekakuan atau kejanggalan seseorang dalam berfikir  dan bernalar.

DAFTAR PUSTAKA

Damuri,ari.2005.Mari Belajar Matematika untuk SMA dan MA. Surabaya : SIC.

Hastuti. Rosyidah.2012. Matematika SMA/MA Kelas X Semester Genap. Klaten : Viva Pakarindo.

Negoro,ST dan Harahap B.2005. Ensiklopedia Matematika. Bogor : Gralia Indonesia.

Slamet.ST. 2012. Master Matematika. Jakarta Selatan : Wahyu Media.