BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Dalam kehidupan kita, seringkali memberikan argumentasi (
anggapan ) yang salah terhadap sesuatu hal atau orang lain, karena
kesalahpahaman kita dalam memahami kebenaran dari suatu pernyataan. Baik dari
pihak yang memberikan pernyataan atau dari pihak yang menerima pernyataan.
Sering sekali mempunyai pengertian yang berbeda.
Untuk itu sangatlah penting dalam mempelajari logika yang
mengkaji tentang argumentasi, sebab argumentasi merupakan cara untuk mendukung
klaim tentang suatu kebenaran. Hal yang menarik adalah bahwa suatu argumentasi
menetapkan kebenaran kesimpulan yang tak dapat diingkari, tetapi dengan logika
seseorang dipaksa untuk menilai pernyataan tersebut. Argumentasi menetapkan
kebenaran suatu kesimpulan relative terhadap premis-premis dan aturan-aturan
tentang inferensi (cara untuk
menarik kesimpulan). Kajian logika tidak memperdulikan apakah suatu argumentasi
akan berhasil secara psikologis dalam mengubah pikiran atau meyakinkan orang
lain. Kekakuan atau kejanggalan seseorang dalam berfikir merupakan bagian
kajian dalam psikologi; efektif tidaknya penalaran serta ragamnya untuk
mempengaruhi orang lain dipelajari oleh retorika; akan tetapi ketepatan penalaran (validitas
inferensi) yang dipelajari dalam kajian logika.
Untuk
menilai suatu argumentasi, hanya dua aspek atau sifat dari argumentasi tersebut
yang perlu diperhatikan, yaitu kebenaran
premis dan keabsahan (validitas)
penalaran yang mengarah pada kesimpulan. Dalam hal ini, logika hanya
mempelajari penalaran (reasoning), dengan mengesampingkan keraguan atas
kebenaran premis secara empirik atau kebenaran dari hasil penyelidikan.
Suatu
argumentasi adalah valid jika
kebenaran premisnya menjamin kebenaran kesimpulannya; atau jika kesimpulan
adalah benar atas asumsi bahwa semua premisnya benar; atau jika kesimpulan
dapat ditarik dari premis-premis sesuai dengan aturan tertentu yang berlaku.
Semua pengertian tersebut adalah ekivalen, dan biasanya digunakan bergantian
sesuai dengan argumentasi yang akan dinilai validitasnya. Jika suatu
argumentasi tidak memenuhi ketentuan diatas, maka dikatakan argumentasi
tersebut tidak valid.
Dalam hal ini kita akan membahas bentuk-bentuk
pernyataan, seperti implikasi, konvers, invers, kontraposisi, biimplikasi,
tautologi, kontradiksi, dan kontingensi, serta aturan-aturan penggunaan kata
hubung.
B.
Rumusan Masalah
1.
Apakah yang dimaksud dengan kondisional (implikasi) ?
2.
Apakah yang dimaksud dengan konvers, invers,dan kontraposisi
?
3.
Apakah yang dimaksud dengan bikondisional (biimplikasi) ?
4.
Bagaimanakah aturan penggunaan kata hubung ?
5.
Bagaimanakah suatu pernyataaan disebut tautologi,
kontingensi, kontradiksi dan ekivalensi
?
BAB
II
PEMBAHASAN
A.
Pengertian Logika
Matematika
Secara etimologis, logika berasal dari kata
Yunani 'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga
berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu
cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid,
correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang
terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan
yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran
(reasoning).
Logika, penalaran, dan argumentasi sangat
sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran
matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Karenanya, Logika Matematika
ini sangat berguna bagi siswa, karena di samping dapat meningkatkan daya nalar,
namun dapat langsung diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari
maupun ketika mempelajari mata pelajaran lainnya.
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap
ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang akan sangat
menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka harus
menyusun pernyataan yang bernilai benar. Di samping itu, mereka sering dituntut
untuk menegasikan suatu pernyataan ataupun menggabungkan dua pernyataan atau
lebih dengan menggunakan perakit. Bagian ini akan membahas tentang pernyataan,
beserta perakitperakit: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan
biimplikasi beserta nilai kebenarannya, dan diakhiri dengan membahas negasi
kalimat majemuk.
B. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk
Pernyataan
majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan kata
hubung logika.
Namun dalam makalah ini kami hanya akan
membahas pada bagian Implikasi, Biimplikasi, konvers, Invers, Kontraposisi,
kesepakatan penggunaan kata hubung, tautologi, ekivalen dan kontradiksi.
1. Implikasi
Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan, maka Implikasi adalah
dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan
majemuk menggunakan implikasi menjadi p => q (dibaca “jika p maka q“) dapat dirumuskan:
p => q……..(dibaca “jika p maka q“)
Implikasi p => q bernilai benar jika p dan q
keduanya adalah benar atau jika p dan q keduanya adalah
salah untuk kasus lainnya adalah salah.
Definisi ini dapat disimpulkan
dengan tabel kebenaran di bawah ini:
p
|
q
|
p => q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
pernyataan p terhadap q dilambangkan “p => q” dapat dibaca:
a.
Jika p maka q
b. p mengakibatkan q
c. q hanya jika p
d. p syarat cukup untuk q
e.
q syarat perlu untuk p
disebut anteseden, hipotesis,
atau sebab.
disebut konsekuen, konklusi,
kesimpulan, atau akibat
Suatu pernyataan majemuk
dengan implikasi
dapat diubah menjadi bentuk
bentuk pernyataan majemuk yang lain, yaitu:
a.
disebut Konvers
b.
disebut Invers; dan
c.
disebut Kontraposisi
pernyataan
implikasi dalam logika ada dua, yaitu implikasi material dan implikasi biasa.
-
Implikasi material adalah nilai kebenarannya bergantung pada
nilai kebenaran antesenden (sebab) dan konsekuen (akibat) atau sesuai dengan
realita.
-
Implikasi biasa adalah nilai kebenarannya tergantung pada
pernyataan yang disampaikan lingkungan dimana disampaikan pernyataan dalam
aturan tersebut, implikasi biasa merupakan implikasi pada percakapan
sehari-hari.
Contoh:
1.
: hujan turun dengan deras
: sepanjang ruas jalan tergenang air
Tuliskan pernyataan majemuk dari dua
pernyataan diatas yang diwakili oleh lambing berikut!
a.
b.
c.
d.
e.
Jawab :
a.
Jika hujan turun dengan
deras maka sepanjang jalan tergenang air.
b.
Jika hujan tidak turun
dengan deras maka sepanjang jalan tergenang air.
c.
Jika hujan turun dengan
deras maka sepanjang jalan tidak tergenang air.
d.
Jika hujan tidak turun
dengan deras maka sepanjang jalan tidak tergenang air.
e.
Jika sepanjang jalan tidak tergenang air makan
hujan tidak turun dengan deras.
2.
Tentukan nilai kebenaran
dari pernyataan berikut!
a.
Jika katak merupakan hewan
amfibi, maka harimau merupakan hewan herbivora.
b.
Jika akar kuadrat dari 49
adalah 9, maka 9 adalah bilangan ganjil.
c.
Jika -7 adalah bilangan
bulat maka 3 adalah factor dari 27.
Jawab:
a.
: katak merupakan hewan ambifi. (B)
: harimau hewan herbivora. (S)
(S)
Jadi pernyataan majemuk bernilai salah.
b.
: akar kuadrat dari 49 adalah 9. (S)
: 9 adalah bilangan ganjil. (B)
(B)
Jadi pernyataan majemuk bernilai benar.
c.
: -7 adalah bilangan bulat. (B)
: 3 adalah factor dari 27. (B)
(B)
Jadi pernyataan majemuk bernilai benar
3.
Jika x adalah bilangan
riil, maka himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka dibawah ini adalah?
a.
Jika
, maka
. (bernilai salah)
b.
Jika 52 adalah kelipatan 4
maka
. (bernilai benar)
Jawab:
a.
b.
|
54 adalah bilangan kelipatan 4 (B)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.
Biimplikasi
Biimplikasi atau implikasi
dua arah adalah penggabungan pernyataan
dan
menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan
kata hubung “….jika dan hanya jika…” dan dilambangkan
.
Lambang
dibaca
jika dan hanya jika
. Nilai kebenaran
biimplikasi
akan benar jika
dan
mempunyai nilai kebenaran yang sama, yaitu
sama-sama benar atau sama-sama salah.
Definisi ini dapat disimpulkan
dengan tabel kebenaran di bawah ini:
Biimplikasi p
q dapat pula dibaca sebagai berikut:
a.
Jika p maka q dan jika q maka p
b. p syarat perlu dan cukup
bagi q
c.
q syarat perlu dan cukup bagi p
contoh :
1.
diketahui pernyataan – pernyataan sebagai berikut.
irfa’ belajar dengan rajin
sukses UAN dan SMPTN
Tuliskan pernyataan majemuk dari dua pernytaan
di atas yang diwakili oleh lambang berikut!
a.
b.
c.
d.
e.
Jawab:
a.
Irfa’ belajar dengan rajin
jika dan hanya jika sukses UAN dan SMPTN
b.
Irfa’ tidak belajar dengan
rajin jika dan hanya jika sukses UAN dan SMPTN
c.
Irfa’ belajar dengan rajin
jika dan hanya jika tidak sukses UAN dan SMPTN
d.
Irfa’ tidak belajar dengan
rajin jika dan hanya jika tidak sukses UAN dan SMPTN
e.
Sukses UAN dan SMPTN jika
dan hanya jika irfa’ tidak belajar dengan rajin.
2.
Tentukan nilai kebenaran
dari pernyataan berikut!
a.
x=2 adalah penyelesaian
dari 3x+5 = 2x+9 jika dan hanya jika 2 merupakan bilangan prima.
b.
-3 adalah bilangan bulat
jika dan hanya jika 3 adalah factor dari 27.
Jawab:
a.
x=2 adalah penyelesaian dari 3x+5 = 2x+9 jika
dan hanya jika 2. (S)
2 merupakan bilangan prima. (B)
Jadi, pernyataan majemak bernilai salah.
b.
-3 adalah bilangan bulat. (B)
3 adalah factor dari 27. (B)
Jadi,
pernyataan majemuk bernilai benar.
3.
Konvers, Invers, dan
Kontraposisi
Pada kenyataannya,
pernyataan implikasi sering menyebabkan orang salah dalam memahami maknanya.
Umumnya kesalahan tersebut
terjadi karena pemahaman yang sering di kacaukan oleh bentuk-bentuk konvers, invers, dan kontraposisi
dari implikasi tersebut.
a.
Konvers adalah balikan dari
pernyataan implikasi.
b.
Invers adalah negasi dari
pernyataan implikasi.
c.
Kontraposisi adalah balikan
dan negasi dari pernyataan implikasi.
Dari implikasi
dapat dibentuk implikasi – implikasi yang lain
sebagai berikut.
a.
disebut konvers
.
b.
disebut invers dari
.
c.
disebut kontraposisi
Hubungan antara
implikasi-implikasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram dibawah
Dapat didefinisikan pada
table kebenaran dibawah ini:
|
|
implikasi
|
konvers
|
invers
|
kontraposisi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Contoh:
1.
Tentukan konvers, invers,
dan kontraposisi dari implikasi “Jika farhan lolos seleksi, maka ia mengikuti
lomba siswa teladan”!
Jawab:
farhan lolos seleksi
farhan mengikuti lomba siswa teladan
a.
Konvers
: jika farhan mengikuti lomba siswa teladan,
maka ia lolos seleksi.
b.
Invers
: jika farhan tidak lolos seleksi, maka ia
tidak mengikuti lomba siswa teladan.
c.
Kontraposisi
: jika farhan tidak mengikuti lomba siswa
teladan, maka ia tidak lolos seleksi.
2.
Tentukan konvers, invers,
dan kontraposisi dari pernyataan
!
Jawab:
a.
Konvers:
b.
Invers:
c.
Kontraposisi:
4.
Kesepakatan
Penggunaan Kata Hubung
Pada saat menghadapi suatu
pernyataan majemuk yang sangat panjang, yakni dibentuk oleh banyak pernyataan
sederhana, adakalanya sulit menentukan nilai kebenarannya. Untuk itu,
disepakati aturan-aturan menggunakan kata hubung sebagai berikut:
a.
() : pernyataan didalam
tanda kurung adalah prioritas tertinggi
b.
~
: prioritas kedua
c.
Ù dan Ú :
prioritas ketiga
d.
: prioritas keempat
e.
Û : prioritas paling rendah
Contoh :
1.
p : anik memberi kesaksian
q : anik berkata benar
r : rukin akan terbukti
bersalah
sehingga bentuk pernyataan {[(pÙq) Û r] Ù ( ~p Þ r)}
adalah “jika anik memberi kesaksian dan berkata benar, maka rukin akan terbukti
bersalah, dan jika anik tidak memberi kesaksian, maka rukin terbukti bersalah”.
|
p
|
q
|
r
|
~p
|
p Ù q
|
[(pÙq) Û r]
|
( ~p Þ r)
|
{[(pÙq) Û r] Ù ( ~p Þ r)}
|
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
“jika anik memberi kesaksian dan berkata
benar, maka rukin akan terbukti bersalah, dan jika anik tidak memberi
kesaksian, maka rukin terbukti bersalah”
5.
Tautologi, Ekivalen
dan Kontradiksi
a.
Tautologi
Tautologi adalah suatu
pernyataan yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya.
Contoh:
p : saya marah
q : saya ngantuk
sehingga bentuk pernyataan (p Ù q) Þ p
adalah “jika saya marah dan mengantuk maka saya marah”
Tabel Kebenaran
|
P
|
q
|
(p Ù q)
|
(p Ù q) Þ p
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
Pada kelompok keempat
terlihat bahwa (p Ù
q) Þ
p bernilai benar pada setiap pernyataan yang terlibat sehingga pernyataan
diatas disebut tautologi.
b. Ekivalen
Pernyataan majemuk ekivalen
adalah dua pernyataan majemuk yangmempunyai nilai kebenaran sama untuk semua
kemungkinan nilai pernyataan-pernyataan komponennya.
Tautologi a (pernyataan
majemuk) Û b (pernyataan majemuk)
dinamakan ekivalen logis dan ditulis a º b (dibaca a ekivalen b)
Contoh:
Buatlah t abel kebenaran untuk ~(p Ù q)
dan ~p
Ú
~q.
Penyelesaian. Tabel kebenaran yang dimaksud
adalah:
|
p
|
q
|
p Ù q
|
~(p
Ù
q)
|
~p
|
~q
|
~p
Ú
~q
|
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Tabel kebenaran diatas
menunjukkan bahwa nilai kebenaran untuk ~(p Ù q) dan ~p Ú ~q
sama disetiap baris, atau dengan kata lain ~(p Ù q) dan ~p Ú ~q mempunyai
nilai kebenaran yang sama untuk semua kombinasi nilai kebenaran pernyataan
atomik yang menyusunnya.
c. Kontradiksi
Adalah suatu pernyataan
yang selalu salah, apapun nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Misalnya :
untuk membuktikan p, maka ingkarannya adalah ~p,
kemudian dilakukan sesuatu kontradiksi sehingga menjadi ~ (~p) = p.
Langkah-langkah :
a.
Tentukan ingkaran kalimat
yang akan dibuktikan
b.
Untuk membuktikan bahwa
suatu pernyataan benar maka harus dibuktikan ingkarannya bernilai salah
Contoh :
p : saya marah
q : saya mengantuk
sehingga bentuk penyataan ~[(p Ù ~p) Þ q]
adalah tidaklah benar, bahwa saya marah dan saya tidak marah maka saya
mengantuk.
Tabel kebenaran dari ~[(p Ù ~p) Þ q]
adalah
|
P
|
q
|
~p
|
(p Ù ~p)
|
(p Ù ~p) Þ q
|
~[(p
Ù
~p)
Þ
q]
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
Pada kolom ke-6 terlihat bahwa ~[(p Ù ~p) Þ q]
bernilai salah pada setiap pernyataan atomik yang terlibat, sehingga pernyataan
diatas disebut kontradiksi.
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
1. Implikasi
adalah bentuk penggabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung
“jika…maka”. Suatu implikasi bernilai salah apabila antesedenya benar dan
konsekuenya salah, selain yang demikian implikasi bernilai benar.
2. Biimplikasi adalah penggabungan
pernyataan
dan
menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan
kata hubung “….jika dan hanya jika…” dan dilambangkan
.
3. Konvers adalah balikan dari pernyataan implikasi. Invers
adalah negasi dari pernyataan implikasi. Kontraposisi adalah balikan
dan negasi dari pernyataan implikasi.
4. aturan urutan penggunaan kata hubung sebagai berikut :
|
NO
|
KATA HUBUNG
|
PRIORITAS URUTAN
|
|
1
|
(
)
|
Pernyataan di dalam tanda kurung adalah prioritas
tertinggi
|
|
2
|
¬
|
Prioritas kedua
|
|
3
|
v dan ^
|
Prioritas ketiga
|
|
4
|
=>
|
Prioritas keempat
|
|
5
|
<=>
|
Prioritas paling rendah
|
5.
Tautologi adalah
suatu pernyataan yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya. Kontradiksi adalah Adalah suatu pernyataan yang selalu salah,
apapun nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Ekivalen adalah dua
pernyataan majemuk yangmempunyai nilai kebenaran sama untuk semua kemungkinan
nilai pernyataan-pernyataan komponennya.
B. Saran
Untuk
itu sangatlah penting dalam mempelajari logika yang mengkaji tentang
argumentasi, sebab argumentasi merupakan cara untuk mendukung klaim tentang
suatu kebenaran. Agar tidak terjadi Kekakuan atau kejanggalan seseorang dalam
berfikir dan bernalar.
DAFTAR PUSTAKA
Damuri,ari.2005.Mari Belajar Matematika untuk SMA dan MA.
Surabaya : SIC.
Hastuti. Rosyidah.2012. Matematika SMA/MA Kelas X
Semester Genap. Klaten : Viva Pakarindo.
Negoro,ST dan Harahap B.2005. Ensiklopedia Matematika.
Bogor : Gralia Indonesia.
Slamet.ST. 2012. Master Matematika. Jakarta Selatan :
Wahyu Media.
